Kegiatan Pembelajaran 2
Baris Aritmetika dan Geometri
Barisan Aritmetika
Masalah 1
Perhatikan gambar tumpukan jeruk di samping ini! Bagaimana cara menentukan atau menduga banyak jeruk dalam satu tumpukan?
Alternatif Penyelesaian :
Jika diperhatikan gambar diatas, maka diperoleh susunan dari beberapa jeruk. Jeruk itu dapat disusun membentuk sebuah piramida.
Jumlah jeruk pada bagian bawah tumpukan akan lebih banyak dibandingkan pada susunan paling atas. Misalkan susunan jeruk tersebut disederhanakan menjadi sebuah susunan segitiga, seperti gambar di bawah ini.
Mengapa harus dengan susunan segitiga, coba lakukan dengan susunan segi empat. Apa yang kamu temukan?
Banyaknya bulatan yang tersusun dari setiap kelompok dapat dituliskan dengan bilangan, yaitu 1, 3, 6, 10, 15. Bilangan tersebut membentuk barisan.
Ternyata beda antara setiap dua bilangan yang berdekatan membentuk barisan yang baru yaitu 2, 3, 4, 5,… Perhatikan skema berikut.
Beda setiap dua bilangan yang berdekatan pada barisan 2, 3, 4, 5,… adalah tetap yaitu 1.
Dengan demikian barisan 2, 3, 4, 5,… disebut ”Barisan Aritmetika”
dan barisan 1, 3, 6, 10, 15, … disebut “Barisan Aritmetika Tingkat Dua”.
Definisi
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda setiap dua suku yang berurutan adalah sama.
Beda, dinotasikan “b” memenuhi pola berikut.
n : bilangan asli sebagai nomor suku, u_n adalah suku ke-n.
Berdasarkan definisi di atas diperoleh bentuk umum barisan aritmetika sebagai berikut.
u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, … u_nSetiap dua suku yang berurutan pada barisan aritmetika memiliki beda yang sama, maka diperoleh,
u_1 = a \newline u_2 = u_1 + 1. b \newline u_3 = u_2 + b = u_1 + 2.b \newline u_4 = u_3 + b = u_1 + 3.b \newline u_5 = u_4 + b = u_1 + 4.b \newline … \newline u_n = u_1 + (n – 1)bSifat
Jika u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, … u_n merupakan suku-suku barisan aritmetika. Suku ke-n barisan tersebut dinyatakan sebagai berikut.
u_n = a + (n – 1)ba = u1 = suku pertama barisan aritmetika, b = beda barisan aritmetika, n = banyak suku.
Untuk mencari beda dalam suatu barisan aritmatika, dapat ditentukan dengan rumus b = u_n – u_n-1
Contoh Soal
2. Barisan Geometri
Masalah 1
Seorang anak memiliki selembar kertas. Berikut ini disajikan satu bagian kertas.
Ia melipat kertas tersebut menjadi dua bagian yang sama besar. Kertas terbagi menjadi 2 bagian yang sama besar.
Kertas yang sedang terlipat ini, kemudian dilipat dua kembali olehnya. Kertas terbagi menjadi 4 bagian yang sama besar.
Ia terus melipat dua kertas yang sedang terlipat sebelumnya. Setelah melipat, ia selalu membuka hasil lipatan dan mendapatkan kertas tersebut terbagi menjadi 2 bagian sebelumnya. Sekarang, perhatikan bagian kertas tersebut yang membentuk sebuah barisan bilangan.
Setiap dua suku berurutan dari barisan bilangan tersebut memiliki perbandingan yang sama, yaitu
\frac {u_2}{u_1} = \frac{u_3 }{u_2 }=⋯=2
Barisan bilangan ini disebut barisan geometri.
DEFINISI
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.
Rasio, dinotasikan r merupakan nilai perbandingan dua suku berdekatan.
Nilai r dinyatakan:
r = \frac {u_2}{u_1} = \frac{u_3 }{u_2 } = \frac{u_3 }{u_2 } = ⋯ = \frac{u_n}{u_n-1}
Sifat
Jika u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, … u_n merupakan susunan suku-suku barisan geometri, dengan u_1 = a dan r = rasio, maka suku ke- n dinyatakan
u_n = a . r^{n-1}, n adalah bilangan asli
a = u_1 suku pertama barisan aritmetika, r = rasio, n banyak suku, u_n-1 = suku sebelumnya.
Untuk mencari rasio dinyatakan dalam rumus
r = \frac{u_n}{u_n-1}
Contoh Soal
Rangkuman
- Barisan Aritmetika adalah barisan bilangan yang selisih antara dua suku yang berurutan sama atau tetap.
Selisih dua suku yang berurutan disebut beda (b)\boxed{b = u_n – u_n–1}
Jadi rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah
\boxed{u_n = a+(n-1)b}
- Barisan Geometri Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang hasil bagi dua suku yang berurutan selalu tetap (sama). Hasil bagi dua suku yang berurutan disebut rasio (r)
\boxed{r = \frac{u_n}{u_n-1}}Rumus suku ke-n barisan geometri adalah
\boxed{u_n = a . r^{n-1}, n }
TES FORMATIF 2
Daftar Pustaka
Manullang, S., dkk. 2017. Buku Siswa Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI. Buku Sekolah Elektronik (BSE). Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud.
Manullang, S., dkk. 2017. Buku Guru Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI. Buku Sekolah Elektronik (BSE). Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud.
Istiqomah. 2020. Modul Pembelajaran SMA Matematika Umum. Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.6. Mataram: Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS, dan DIKMEN.
